Na álgebra matricial iterativa, exigimos uma estrutura matemática rigorosa para quantificar o "tamanho" de vetores e matrizes. Essas métricas permitem determinar se uma aproximação está se aproximando da solução verdadeira. As normas de vetores e matrizes mapeiam arranjos de alta dimensão para números reais não negativos, mantendo propriedades algébricas específicas que limitam erros e garantem convergência.
A Fundação Axiomática das Normas
Definição 7.1: Norma de Vetor
Uma norma de vetor $\|\cdot\|$ em $\mathbb{R}^n$ deve satisfazer quatro critérios:
- Não-negatividade: $\|\mathbf{x}\| \geq 0$
- Definidade: $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x} = \mathbf{0}$
- Homogeneidade Absoluta: $\|\alpha \mathbf{x}\| = |\alpha| \|\mathbf{x}\|$
- Desigualdade Triangular: $\|\mathbf{x} + \mathbf{y}\| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$
Métricas Principais: $l_2$ e $l_\infty$
De acordo com Definição 7.2, as normas mais críticas para análise numérica são:
- Norma Euclidiana ($l_2$): $\|\mathbf{x}\|_2 = \{ \sum_{i=1}^n x_i^2 \}^{1/2}$. Geometricamente, a distância mais curta da origem.
- Norma Máxima ($l_\infty$): $\|\mathbf{x}\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$. Captura a magnitude do componente individual mais alto.
Essas definições permitem definir a distância entre uma solução exata $\mathbf{x}$ e uma aproximação $\mathbf{y}$ como $\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|$ (Definição 7.4).
Normas de Matriz e Amplificação Induzida
Uma norma de matriz adiciona uma quinta propriedade "sub-multiplicativa" (Definição 7.8): $\|A B\| \leq \|A\|\|B\|$.
Teorema 7.11: A Soma Máxima das Linhas
Para uma matriz $n \times n$ $A$, a norma natural $l_\infty$ é calculada como o máximo das somas absolutas das linhas:
$$\|A\|_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|$$
Exemplo Prático: Cálculo de Vetores e Matrizes
Considere $\mathbf{x} = (-1, 1, -2)^t$ e $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 5 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
Normas de Vetor
$\|\mathbf{x}\|_\infty = \max(|-1|, |1|, |-2|) = 2$.$\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6} \approx 2.449$.
Norma da Matriz $l_\infty$
Linha 1: $|1|+|2|+|-1|=4$Linha 2: $|0|+|3|+|-1|=4$
Linha 3: $|5|+|-1|+|1|=7$
Resultado: $\|A\|_\infty = 7$.
🎯 Princípio Central
Embora a 'forma' específica da magnitude mude entre normas, Teorema 7.7 garante equivalência: a convergência na norma $l_\infty$ implica convergência na norma $l_2$ e vice-versa.
$\|\mathbf{x}\|_\infty \leq \|\mathbf{x}\|_2 \leq \sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_\infty$